एक रेलगाड़ी कतिपय औसत चाल से 63 किमी दूरी तय करती है तथा अपनी मूल चाल से 6…

अवधारणा

समय = दूरी ÷ चाल। जब एक ही यात्रा भिन्न-भिन्न चालों वाले चरणों में बँटी हो, तो प्रत्येक चरण का समय अलग-अलग निकालकर जोड़ा जाता है और यह योग दी गई कुल अवधि के बराबर रखा जाता है। अज्ञात चाल हर के रूप में आती है, इसलिए समीकरण को हरों से गुणा करने पर एक द्विघात समीकरण बनता है, जिसका धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से स्वीकार्य चाल होता है।

हल

1. मान लीजिए मूल चाल x किमी/घं है; तब दूसरे चरण की चाल (x + 6) किमी/घं होगी।

2. पहले चरण का समय = 63/x घंटे तथा दूसरे चरण का समय = 72/(x + 6) घंटे।

3. कुल समय की शर्त से: 63/x + 72/(x + 6) = 3

4. दोनों पक्षों को x(x + 6) से गुणा करने पर: 63(x + 6) + 72x = 3x(x + 6)

5. दोनों पक्षों को खोलने पर: 63x + 378 + 72x = 3x2 + 18x, अर्थात् 135x + 378 = 3x2 + 18x

6. सभी पदों को एक ओर लाने पर: 3x2 − 117x − 378 = 0; पूरे समीकरण को 3 से भाग देने पर x2 − 39x − 126 = 0

7. मध्य पद को तोड़ने पर: x2 − 42x + 3x − 126 = 0 → x(x − 42) + 3(x − 42) = 0 → (x − 42)(x + 3) = 0

8. अतः x = 42 अथवा x = −3। चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए मूल चाल x = 42 किमी/घं है।

जाँच

x = 42 रखने पर पहला चरण 63 ÷ 42 = 1.5 घंटे लेता है और दूसरा चरण 48 किमी/घं पर 72 ÷ 48 = 1.5 घंटे; दोनों का योग ठीक 3 घंटे है, जो प्रश्न की शर्त के अनुरूप है।

ध्यान दें

पूरी यात्रा की औसत चाल (63 + 72) ÷ 3 = 45 किमी/घं है, जो न तो मूल चाल है और न ही बढ़ी हुई चाल — मिश्रित यात्रा में औसत चाल किसी भी चरण की चाल के बराबर होना आवश्यक नहीं है, इसलिए 45 को सीधे उत्तर मान लेना एक सामान्य भूल है।