₹ 3800 की धनराशि को A, B और C तीन व्यक्तियों में ½ : ⅓ : ¾ के अनुपात में…

अवधारणा

जब किसी मात्रा को ऐसे अनुपात में बाँटा जाता है जिसके पद भिन्न हों, तो अनुपात को पहले पूर्ण-संख्या पदों में पुनः लिखना आवश्यक है। अनुपात के प्रत्येक पद को समान शून्येतर संख्या से गुणा करने पर अनुपात अपरिवर्तित रहता है, इसलिए सभी पदों को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर भिन्न समाप्त हो जाते हैं। अनुपात के a : b : c के रूप में आ जाने पर, किसी भी व्यक्ति का हिस्सा उस व्यक्ति के अपने पद को भागों की कुल संख्या (a + b + c) से भाग देकर प्राप्त भिन्न के बराबर सम्पूर्ण मात्रा का भाग होता है।

अनुप्रयोग

1. A, B और C के हिस्से ½ : ⅓ : ¾ के अनुपात में हैं, जिनके हर 2, 3 और 4 हैं।

2. 2, 3 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य 12 है, इसलिए भिन्नों को समाप्त करने के लिए अनुपात के प्रत्येक पद को 12 से गुणा करें।

3. ½ × 12 = 6, ⅓ × 12 = 4 और ¾ × 12 = 9, इसलिए A : B : C = 6 : 4 : 9।

4. भागों की कुल संख्या 6 + 4 + 9 = 19 है।

5. उभयनिष्ठ गुणक x मान लें, इसलिए तीनों हिस्से 6x, 4x और 9x हैं तथा इन्हें मिलाने पर सम्पूर्ण राशि प्राप्त होती है: 6x + 4x + 9x = 3800, अर्थात् 19x = 3800।

6. अतः x = 3800 ÷ 19 = 200, इसलिए एक भाग का मूल्य ₹ 200 है।

7. C के पास 9 भाग हैं, इसलिए C का हिस्सा = 9x = 9 × 200 = ₹ 1800।

पुनः जाँच

• प्रत्यक्ष एक-चरणीय रूप: C का हिस्सा = ¾ ÷ (½ + ⅓ + ¾) × 3800। तीनों पदों को उभयनिष्ठ हर 12 में व्यक्त करने पर, वे क्रमशः 6, 4 और 9 बारहवें भाग बनते हैं, अतः उनका योग 19 बारहवें भाग है। बारहवें भाग निरस्त हो जाते हैं, जिससे ₹ 3800 के 19 समान भागों में से 9 भाग C के हिस्से में आते हैं, अर्थात् 9 × 200 = ₹ 1800 — वही मान जो ऊपर प्राप्त हुआ।

• सम्पूर्ण राशि का पुनर्निर्माण करें: A को 6 × 200 = ₹ 1200, B को 4 × 200 = ₹ 800 और C को ₹ 1800 मिलता है; इन्हें जोड़ने पर 1200 + 800 + 1800 = ₹ 3800 प्राप्त होता है, इसलिए न कुछ शेष रहता है और न कोई कमी रहती है।

• तीनों हिस्सों को पुनः अनुपात में बदलें: 1200 : 800 : 1800 = 6 : 4 : 9, और प्रत्येक पद को 12 से भाग देने पर ½ : ⅓ : ¾ पुनः प्राप्त होता है, जो दिए गए अनुपात के ठीक समान है।

सामान्य त्रुटि

एक सामान्य भूल किसी भिन्नात्मक पद को सम्पूर्ण राशि का भिन्न मान लेना है—अर्थात् ⅓ को इस प्रकार लेना कि B को ₹ 3800 का एक-तिहाई मिलता है—या ₹ 3800 को तीन बराबर भागों में बाँट देना है। अनुपात का कोई पद केवल अन्य हिस्सों की तुलना में एक हिस्से का आकार निर्धारित करता है; वह कुल राशि का भिन्न केवल तभी बनता है, जब पदों को सामान्यीकृत करके भागों की कुल संख्या से भाग दिया जाता है।