पाइप P अकेले एक टैंक का \(\frac{5}{6}\) भाग 15 घंटे में भर सकता है और पाइप Q…

अवधारणा — यदि कोई पाइप किसी टैंक का \(f\) भाग \(t\) घंटे में भरता है, तो उसकी दर \(\frac{f}{t}\) भाग प्रति घंटा होती है और अकेले पूरा टैंक भरने में उसे \(\frac{t}{f}\) घंटे लगते हैं। जब कई पाइप एक साथ चलते हैं तो उनकी दरें बीजगणितीय रूप से जुड़ती हैं: भरने वाला पाइप धनात्मक दर देता है और खाली करने वाला ऋणात्मक, और पूरा टैंक भरने का समय इस शुद्ध दर का व्युत्क्रम होता है।

अनुप्रयोग

1. पाइप P टैंक का \(\frac{5}{6}\) भाग 15 घंटे में भरता है, अतः उसकी दर \(\frac{5/6}{15}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\) भाग प्रति घंटा है और अकेले वह पूरा टैंक 18 घंटे में भरेगा।

2. पाइप Q टैंक का \(\frac{2}{3}\) भाग 24 घंटे में भरता है, अतः उसकी दर \(\frac{2/3}{24}=\frac{2}{72}=\frac{1}{36}\) भाग प्रति घंटा है और अकेले वह पूरा टैंक 36 घंटे में भरेगा।

3. P और Q दोनों के खुले रहने पर उनकी संयुक्त दर \(\frac{1}{18}+\frac{1}{36}=\frac{2+1}{36}=\frac{1}{12}\) भाग प्रति घंटा होती है।

4. 2 घंटे खुले रहने में उन्होंने \(2\times\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\) भाग भर दिया, और पाइप R को केवल यही पानी बाहर निकालना था।

5. पाइप R ने वह \(\frac{1}{6}\) भाग 6 घंटे में खाली किया, अतः उसकी खाली करने की दर \(\frac{1/6}{6}=\frac{1}{36}\) भाग प्रति घंटा है और अकेले वह भरा टैंक 36 घंटे में खाली करेगा।

6. तीनों के एक साथ खुलने पर शुद्ध दर \(\frac{1}{18}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}=\frac{1}{18}\) भाग प्रति घंटा है, अतः खाली टैंक \(1\div\frac{1}{18}=18\) घंटे में भर जाएगा।

जाँच — पाइप Q की \(\frac{1}{36}\) भाग प्रति घंटा की आवक पाइप R की \(\frac{1}{36}\) भाग प्रति घंटा की निकासी से पूरी तरह कट जाती है, इसलिए शुद्ध दर केवल पाइप P की दर रह जाती है और टैंक P के अपने अकेले के समय में ही भर जाता है। सीधे जाँचें: 18 घंटों में P \(18\times\frac{1}{18}=1\) टैंक भरता है, Q \(18\times\frac{1}{36}=\frac{1}{2}\) टैंक भरता है और R \(18\times\frac{1}{36}=\frac{1}{2}\) टैंक निकाल देता है, शेष ठीक एक पूरा टैंक।

अतः खाली टैंक 18 घंटे में भर जाता है।