Find the non-context free language among the following.

To determine which language is not context-free, we analyze each option based on the properties of context-free languages (CFLs). CFLs can be recognized by pushdown automata (PDAs), which use a stack to handle nested or matching structures.

Option A: L = {ωωR ∣ ω ∈ {0,1}∗}

This language consists of palindromes over {0,1}. A PDA can recognize palindromes by pushing symbols onto the stack until the middle, then popping and matching with the reverse. This is a classic context-free language.

Option B: L = {p^n q^n ∣ n ≥ 0}

This language requires matching equal numbers of p and q symbols. A PDA can push a symbol for each p and pop for each q. This is a standard context-free language.

Option C: L = {ωω ∣ ω ∈ {0,1}∗}

This language consists of strings formed by repeating a string twice. A PDA cannot compare the first half with the second half because it cannot store the entire first half in the stack and then compare it with the second half. This language is not context-free.

Option D: L = {p^n q^m r^m s^n ∣ n,m ≥ 0}

This language has two independent matching pairs: p and s must have the same count, and q and r must have the same count. A PDA can use the stack to count p's and then match with s's, and similarly for q and r. This is context-free.

Option E: Question not attempted

This is not a valid language definition and does not represent a formal language. It is not considered in the analysis.

Therefore, the only language that is not context-free is Option C.

हिन्दी उत्तर:

प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से एक ऐसा भाषा खोजना है जो संदर्भ-मुक्त नहीं है। संदर्भ-मुक्त भाषाएँ पुशडाउन ऑटोमेटा (PDA) द्वारा पहचानी जा सकती हैं, जो स्टैक का उपयोग करके निष्पादित करती हैं।

विकल्प A: L = {ωωR ∣ ω ∈ {0,1}∗}

यह भाषा {0,1} पर पलिंड्रोमों से बनी है। एक PDA पलिंड्रोम को पहचान सकता है जब तक कि वह स्टैक में पहले आधे भाग के प्रत्येक प्रतीक को डालता है और फिर दूसरे आधे भाग के प्रत्येक प्रतीक के साथ मिलाता है। यह एक मानक संदर्भ-मुक्त भाषा है।

विकल्प B: L = {p^n q^n ∣ n ≥ 0}

इस भाषा में p और q की संख्या बराबर होनी चाहिए। एक PDA प्रत्येक p के लिए एक प्रतीक डाल सकता है और प्रत्येक q के लिए एक प्रतीक निकाल सकता है। यह एक मानक संदर्भ-मुक्त भाषा है।

विकल्प C: L = {ωω ∣ ω ∈ {0,1}∗}

यह भाषा एक शब्द को दो बार दोहराने से बनी है। एक PDA पहले आधे भाग को दूसरे आधे भाग के साथ तुलना नहीं कर सकता क्योंकि यह पूरे पहले आधे भाग को स्टैक में स्टोर नहीं कर सकता और फिर दूसरे आधे भाग के साथ तुलना कर सकता है। यह भाषा संदर्भ-मुक्त नहीं है।

विकल्प D: L = {p^n q^m r^m s^n ∣ n,m ≥ 0}

इस भाषा में दो स्वतंत्र मैचिंग जोड़े हैं: p और s की संख्या बराबर होनी चाहिए, और q और r की संख्या बराबर होनी चाहिए। एक PDA स्टैक का उपयोग कर सकता है p की संख्या गिनने और फिर s के साथ मिलान करने के लिए, और इसी तरह q और r के लिए। यह संदर्भ-मुक्त है।

विकल्प E: प्रश्न अनुसूचित नहीं

यह एक वैध भाषा परिभाषा नहीं है और इसे विश्लेषण में नहीं लिया जाता है।

इसलिए, एकमात्र भाषा जो संदर्भ-मुक्त नहीं है वह विकल्प C है।