निम्नलिखित को सरल कीजिए। \(8-\{(-12)\times(-16-1-15)\}\div[9\times\{3+(-2)\time…

अवधारणा: किसी मिश्रित संख्यात्मक व्यंजक का मान BODMAS क्रम से निकाला जाता है — पहले कोष्ठक, फिर भाग और गुणा (बाएँ से दाएँ), और अंत में जोड़ तथा घटाव। कोष्ठक स्वयं भीतर से बाहर की ओर खोले जाते हैं — निर्णायक बात कोष्ठक का आकार नहीं, बल्कि यह है कि कौन-सा समूह सबसे भीतर स्थित है; भारतीय पाठ्यपुस्तकों की सामान्य लेखन-शैली में कोष्ठक इसी क्रम में एक-दूसरे के भीतर रखे जाते हैं — साधारण कोष्ठक ( ) सबसे भीतर, उसके बाहर मझोले कोष्ठक { }, और सबसे बाहर बड़े कोष्ठक [ ] — इसलिए यहाँ भी वही क्रम बनता है। इसके साथ चिह्न का नियम लागू होता है — दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है, जबकि एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है। यह भी ध्यान रखना आवश्यक है कि भाग, घटाव से पहले किया जाता है; इसलिए ÷ वाला पूरा भाग पहले एक अकेली संख्या में बदलता है और तभी उसे 8 में से घटाया जाता है।

इसे दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:

1. सबसे भीतरी साधारण कोष्ठक खोलिए: \((-16-1-15)=-32\) तथा \((-2)\times(-1)=2\)।

2. अब मझोले कोष्ठक खोलिए: \(\{(-12)\times(-32)\}=384\) — दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है — तथा \(\{3+2\}=5\)।

3. बड़ा कोष्ठक खोलिए: \([9\times 5]=45\)।

4. अब व्यंजक \(8-384\div 45\) रह जाता है; BODMAS के अनुसार पहले भाग कीजिए: \(384\div 45=\frac{384}{45}=\frac{128}{15}\)।

5. अंत में घटाव कीजिए: \(8-\frac{128}{15}=\frac{120}{15}-\frac{128}{15}=-\frac{8}{15}\)।

6. \(-\frac{8}{15}\) के अंश और हर को 3 से गुणा करने पर यह \(-\frac{24}{45}\) बनता है, जो विकल्पों में प्रयुक्त हर 45 के अनुरूप है।

जाँच: \(\frac{384}{45}\approx 8.533\) है, अतः \(8-8.533\approx -0.533\), और \(-\frac{24}{45}\approx -0.533\) — दोनों समान हैं। दूसरी जाँच यह है कि \(-\frac{8}{15}\) में \(\frac{128}{15}\) जोड़ने पर \(\frac{120}{15}=8\) वापस मिल जाता है, अर्थात् घटाव सही दिशा में हुआ है। तुलना के लिए शेष मानों के दशमलव रूप \(-\frac{20}{45}\approx -0.444\), \(-\frac{31}{45}\approx -0.689\) तथा \(-\frac{16}{45}\approx -0.356\) हैं, जो इस गणना से प्राप्त मान से भिन्न हैं। इस प्रकार के प्रश्नों में दो सामान्य भूलें होती हैं — दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल को ऋणात्मक मान लेना, और भाग से पहले घटाव कर देना; दोनों ही BODMAS क्रम का उल्लंघन हैं।

परिणाम: व्यंजक का सरलीकृत मान \(-\frac{8}{15}\) है, जिसे 45 हर के रूप में \(-\frac{24}{45}\) लिखा जाता है।