12 cm × 24 cm × 30 cm माप वाले एक आयताकार ब्लॉक को समान आकार वाले घनों में…

अवधारणा

किसी घनाभ को बिना कुछ शेष छोड़े पूर्णतः समान घनों में काटने के लिए घन की भुजा को तीनों विमाओं में से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करना चाहिए, अतः वह भुजा लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई की उभयनिष्ठ भाजक होती है। प्राप्त घनों की संख्या (l ÷ e) × (b ÷ e) × (h ÷ e) होती है, जो भुजा e के बढ़ने पर घटती है। अतः घनों की न्यूनतम संख्या अधिकतम अनुमेय भुजा से प्राप्त होती है, जो तीनों विमाओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

अनुप्रयोग

1. विमाओं के अभाज्य गुणनखंड लिखिए: 12 = 22 × 3, 24 = 23 × 3, और 30 = 2 × 3 × 5।

2. तीनों में उभयनिष्ठ प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की न्यूनतम घात लीजिए: महत्तम समापवर्तक (HCF) = 2 × 3 = 6, अतः बिना अपव्यय के प्रत्येक विमा में समाहित होने वाले अधिकतम घन की भुजा 6 cm है।

3. प्रत्येक विमा में स्थित ऐसे घनों की संख्या ज्ञात कीजिए: 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 6 = 4, और 30 ÷ 6 = 5।

4. तीनों संख्याओं का गुणा कीजिए: 2 × 4 × 5 = 40 घन।

जाँच

घनाभ का आयतन 12 × 24 × 30 = 8640 cm3 है और एक घन का आयतन 63 = 216 cm3 है तथा 8640 ÷ 216 = 40, जो उपर्युक्त गणना से मेल खाता है। कोई भी छोटा उभयनिष्ठ भाजक केवल टुकड़ों की संख्या बढ़ाता है: 3 cm भुजा से 4 × 8 × 10 = 320 घन और 2 cm भुजा से 6 × 12 × 15 = 1080 घन प्राप्त होते हैं, अतः अधिकतम भुजा ही घनों की संख्या को न्यूनतम बनाती है और उत्तर 40 है।