एक गोले का व्यास, एक छोटे गोले के व्यास से 14 cm अधिक है। बड़े गोले का पृष्ठीय…

संकल्पना (Concept)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 4πr² होता है, जहाँ r त्रिज्या है। यदि व्यास D = 2r हो, तो A = 4π(D/2)² = πD²। अतः दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अंतर होगा: A₁ − A₂ = π(D₁² − D₂²) = π(D₁ − D₂)(D₁ + D₂), जो वर्गों के अंतर की सर्वसमिका पर आधारित है।

अनुप्रयोग (Application)

1. मान लीजिए बड़े गोले का व्यास D तथा छोटे गोले का व्यास d है।

2. दिया है: D − d = 14 ... (समीकरण 1)

3. दिया है: π(D² − d²) = 1232

4. π = 22/7 रखने पर: D² − d² = 1232 × 7/22 = 392

5. सर्वसमिका D² − d² = (D − d)(D + d) का प्रयोग करने पर: 14 × (D + d) = 392, अतः D + d = 28 ... (समीकरण 2)

6. समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: 2D = 42, अतः D = 21 cm

जाँच (Cross-check)

D = 21 cm तथा d = D − 14 = 7 cm रखकर स्वतंत्र रूप से पुनः जाँच करें: बड़े गोले की त्रिज्या r₁ = 10.5 cm, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × (10.5)² = 1386 cm². छोटे गोले की त्रिज्या r₂ = 3.5 cm, पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × (3.5)² = 154 cm². अंतर = 1386 − 154 = 1232 cm², जो दी गई शर्त से पूर्णतः मेल खाता है, और D − d = 21 − 7 = 14 भी सत्यापित होता है।

अतः बड़े गोले का व्यास = 21 cm.