यदि x1, x2, x3, ... xₙ का माध्य x̄ है, तब a ≠ 0 के लिए (ax1, ax2, ax3, ...…

अवधारणा

किसी सूची का अंकगणितीय माध्य उसके कुल योग को प्रविष्टियों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, इसलिए माध्य ठीक दो बातों से निर्धारित होता है: प्रविष्टियों का योग और प्रविष्टियों की संख्या।

यदि m माध्य वाली किसी सूची की प्रत्येक प्रविष्टि को एक नियतांक k से गुणा किया जाता है, तो कुल योग k से गुणा हो जाता है जबकि प्रविष्टियों की संख्या अपरिवर्तित रहती है, इसलिए नया माध्य k·m होता है।

जब दो सूचियों को मिलाकर एक अधिक लंबी सूची बनाई जाती है, तो उनके कुल योग जुड़ते हैं और प्रविष्टियों की संख्याएँ भी जुड़ती हैं, इसलिए संयुक्त सूची का माध्य (पहली का कुल योग + दूसरी का कुल योग) को (पहली की प्रविष्टियों की संख्या + दूसरी की प्रविष्टियों की संख्या) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

अनुप्रयोग

1. n प्रविष्टियों x1, x2, ... xn का माध्य x̄ है, इसलिए उनका कुल योग x1 + x2 + ... + xn = n·x̄ है।

2. पहला समूह, प्रत्येक प्रविष्टि को a से गुणा किया गया है: n प्रविष्टियों ax1, ax2, ... axn का कुल योग a·(n·x̄) = a·n·x̄ है।

3. दूसरा समूह, प्रत्येक प्रविष्टि को a से विभाजित किया गया है: n प्रविष्टियों x1/a, x2/a, ... xn/a का कुल योग (1/a)·(n·x̄) = n·x̄/a है।

4. दी गई आँकड़ा-सूची दोनों समूहों को मिलाकर बनाई गई है, इसलिए इसमें n + n = 2n प्रविष्टियाँ हैं और इसका कुल योग a·n·x̄ + n·x̄/a = n·x̄(a + 1/a) है।

5. संयुक्त सूची का माध्य = n·x̄(a + 1/a) को 2n से विभाजित करने पर = ½(a + 1/a)x̄, क्योंकि n निरस्त हो जाता है।

प्रति-जाँच

• a = 1 लें। तब दोनों समूह मूल आँकड़ों के समान हो जाते हैं, इसलिए संयुक्त माध्य अब भी x̄ ही होना चाहिए, और आवश्यकतानुसार ½(1 + 1)x̄ = x̄।

• n = 2, आँकड़े 2 और 4 (अतः x̄ = 3) तथा a = 2 लेकर संख्यात्मक जाँच करें: संयुक्त सूची 4, 8, 1, 2 है, जिसका कुल योग 15 और माध्य 15/4 = 3.75 है; सूत्र से ½(2 + ½)·3 = 3.75 प्राप्त होता है।

• दो परस्पर प्रतिस्पर्धी प्रभावों पर ध्यान दें: समूहों को मिलाने पर प्रविष्टियों की संख्या n से दोगुनी होकर 2n हो जाती है, जबकि गुणन-परिवर्तन कुल योग को केवल (a + 1/a) से गुणा करता है। इसीलिए ½ बना रहता है और n की प्रत्येक घात निरस्त हो जाती है।

अतः दी गई 2n प्रविष्टियों का माध्य ½(a + 1/a)x̄ है।