एक कण, आयाम ‘a’ का SHM निष्पादित करता है। माध्य स्थिति से कितनी दूरी पर इसकी…
2025
एक कण, आयाम ‘a’ का SHM निष्पादित करता है। माध्य स्थिति से कितनी दूरी पर इसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी?
Answer: D. 0 — अवधारणा: सरल आवर्त गति में कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है और स्थितिज तथा गतिज रूपों के बीच निरंतर परिवर्तित होती रहती है। कोणीय आवृत्ति ω और आयाम a से…
- A.
a
- B.
\(\frac{a}{2}\)
- C.
\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
- D.
0
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Correct answer: D
अवधारणा: सरल आवर्त गति में कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है और स्थितिज तथा गतिज रूपों के बीच निरंतर परिवर्तित होती रहती है। कोणीय आवृत्ति ω और आयाम a से दोलन करने वाले द्रव्यमान m के कण के लिए, माध्य स्थिति से विस्थापन x पर स्थितिज ऊर्जा U = ½mω2x2 होती है, जबकि कुल ऊर्जा E = ½mω2a2 होती है। गतिज ऊर्जा शेष बची ऊर्जा होती है: K = E − U = ½mω2(a2 − x2)।
अनुप्रयोग:
गतिज ऊर्जा को विस्थापन के फलन के रूप में लिखें: K(x) = ½mω2(a2 − x2)। किसी दिए गए दोलन के लिए m, ω और a नियत होते हैं, अतः केवल x ही परिवर्तित होता है।
देखें कि K, x पर किस प्रकार निर्भर करता है: विस्थापन केवल −x2 पद के माध्यम से आता है, जिसे a2 में से घटाया जाता है। अधिक |x| से कोष्ठक का मान घटता है और फलतः K भी घटता है।
अतः K वहाँ अधिकतम होता है जहाँ x2 न्यूनतम होता है, अर्थात जहाँ x = 0 होता है, ठीक माध्य स्थिति पर; तब माध्य स्थिति से दूरी 0 होती है।
उस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा U = 0 और K = ½mω2a2 = E होती है, जो दोलन की संपूर्ण ऊर्जा है। समान रूप से, चाल v = ω√(a2 − x2) वहाँ अपना अधिकतम मान ωa प्राप्त करती है।
पुनः जाँच: अन्य दिए गए विस्थापनों को K(x) में प्रतिस्थापित करने पर छोटे मान प्राप्त होते हैं, अतः कण के माध्य स्थिति से दूर जाने पर गतिज ऊर्जा निरंतर घटती है:
माध्य स्थिति से दूरी | गतिज ऊर्जा K = ½mω2(a2 − x2) |
|---|---|
0 | ½mω2a2, संपूर्ण ऊर्जा E |
\(\frac{a}{2}\) | \(\frac{3}{8}\)mω2a2, E का तीन-चौथाई |
\(\frac{a}{\sqrt{2}}\) | \(\frac{1}{4}\)mω2a2, E का आधा |
a | शून्य, जबकि ऊर्जा पूर्णतः स्थितिज होती है |
अतः कण की गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति से 0 दूरी पर, अर्थात कण के माध्य स्थिति से गुजरते समय, अधिकतम होती है।