पाइप A अकेले एक खाली टंकी को 22 घंटे में और पाइप B अकेले उसी टंकी को 36 घंटे…

अवधारणा

पाइप और टंकी की दर का सिद्धांत: यदि कोई पाइप अकेले किसी टंकी को t घंटे में भरता (या खाली करता) है, तो उसकी कार्य-दर प्रति घंटे टंकी का 1/t भाग होती है। जब दो या दो से अधिक पाइप एक ही दिशा में एक साथ कार्य करते हैं, तो संयुक्त दर ज्ञात करने के लिए उनकी अलग-अलग दरों को जोड़ दिया जाता है। पाइपों द्वारा टंकी के किसी दिए गए भाग f को पूरा करने में लगा समय, f को संयुक्त दर से भाग देने पर प्राप्त होता है।

चरण-दर-चरण हल

1. पाइप A की दर = प्रति घंटे टंकी का \(\frac{1}{22}\) भाग, क्योंकि यह अकेले टंकी को 22 घंटे में भरता है।

2. पाइप B की दर = प्रति घंटे टंकी का \(\frac{1}{36}\) भाग, क्योंकि यह अकेले टंकी को 36 घंटे में भरता है।

3. दोनों दरों को समान हर में जोड़ने के लिए 22 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य लें, जो 396 है: A की दर = प्रति घंटे टंकी का \(\frac{18}{396}\) भाग, B की दर = प्रति घंटे टंकी का \(\frac{11}{396}\) भाग।

4. संयुक्त दर = प्रति घंटे टंकी का \(\frac{18}{396}+\frac{11}{396}=\frac{29}{396}\) भाग।

5. दोनों द्वारा मिलकर पूरी टंकी भरने में लगा समय = \(1 \div \frac{29}{396} = \frac{396}{29}\) घंटे।

6. आधी टंकी भरने में लगा समय = \(\frac{1}{2} \div \frac{29}{396} = \frac{396}{2 \times 29} = \frac{198}{29}\) घंटे।

7. \(\frac{198}{29}\) को मिश्रित भिन्न में बदलें: \(29 \times 6 = 174\), और \(198 - 174 = 24\), अतः \(\frac{198}{29} = 6\frac{24}{29}\) घंटे।

जाँच

यह गणना करके स्वतंत्र रूप से सत्यापित करें कि \(6\frac{24}{29}\) (= \(\frac{198}{29}\)) घंटों में प्रत्येक पाइप टंकी का कितना भाग भरता है, और फिर दोनों मात्राओं को जोड़ें: पाइप A टंकी का \(\frac{198}{29}\times\frac{1}{22}=\frac{9}{29}\) भाग भरता है और पाइप B टंकी का \(\frac{198}{29}\times\frac{1}{36}=\frac{5.5}{29}\) भाग भरता है। इनका योग \(\frac{9+5.5}{29}=\frac{14.5}{29}=\frac{1}{2}\) है—अर्थात टंकी का ठीक आधा भाग, जिससे परिणाम की पुष्टि होती है।

परिणाम

अतः दोनों पाइप मिलकर खाली टंकी का आधा भाग भरने में \(6\frac{24}{29}\) घंटे लेते हैं।