If (x² − 3x + 2) is a factor of (x⁴ − Px² + Q) then what are the values of P…

Step-by-Step Solution

Given that (x² − 3x + 2) is a factor of (x⁴ − Px² + Q), the roots of the quadratic factor must also be roots of the quartic polynomial.

First, find the roots of (x² − 3x + 2) = 0.

• Factorize: (x − 1)(x − 2) = 0

The roots are x = 1 and x = 2.

Substitute x = 1 into the polynomial (x⁴ − Px² + Q) = 0:

• 1⁴ − P(1)² + Q = 0

1 − P + Q = 0 => P − Q = 1 (Equation 1)

Substitute x = 2 into the polynomial (x⁴ − Px² + Q) = 0:

• 2⁴ − P(2)² + Q = 0

16 − 4P + Q = 0 => 4P − Q = 16 (Equation 2)

Solve the system of equations:

• Subtract Equation 1 from Equation 2:

(4P − Q) − (P − Q) = 16 − 1

3P = 15 => P = 5

Substitute P = 5 into Equation 1:

5 − Q = 1 => Q = 4

Thus, the values are P = 5 and Q = 4.

हिन्दी समाधान

दिया गया है कि (x² − 3x + 2), (x⁴ − Px² + Q) का एक गुणनखंड है। इसलिए, द्विघात समीकरण के मूल चतुर्घात बहुपद के भी मूल होंगे।

सबसे पहले, (x² − 3x + 2) = 0 के मूल ज्ञात करें:

• गुणनखंडन: (x − 1)(x − 2) = 0

मूल x = 1 और x = 2 हैं।

x = 1 को बहुपद में रखने पर:

1 − P + Q = 0 => P − Q = 1 (समीकरण 1)

x = 2 को बहुपद में रखने पर:

16 − 4P + Q = 0 => 4P − Q = 16 (समीकरण 2)

समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर:

3P = 15 => P = 5

P = 5 को समीकरण 1 में रखने पर:

5 − Q = 1 => Q = 4

अतः, P = 5 और Q = 4 हैं।