धनात्मक विषम वितरण में, निम्नलिखित में से कौन-सा सही होगा? (A) माध्य > बहुलक…

अवधारणा: एक मध्यम रूप से विषम (skewed) एकबहुलक वितरण में केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापों — माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode) — के बीच कार्ल पियर्सन का अनुभवजन्य संबंध होता है: बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य। इसी से यह सामान्य नियम मिलता है — धनात्मक (दाईं ओर) विषम वितरण में उच्च मानों की ओर लंबी पूंछ माध्य को ऊपर खींचती है, जिससे माध्य > माध्यिका > बहुलक होता है; ऋणात्मक (बाईं ओर) विषम वितरण में यह क्रम उलट जाता है — बहुलक > माध्यिका > माध्य; और सममित वितरण में माध्य = माध्यिका = बहुलक होता है।

1. धनात्मक विषम वितरण के लिए क्रम माध्य > माध्यिका > बहुलक लागू करें।

2. कथन (A) माध्य > बहुलक की जाँच करें — यह क्रम से सीधे सत्य है, क्योंकि माध्य सबसे बड़ा है।

3. कथन (B) बहुलक > माध्यिका की जाँच करें — यह असत्य है, क्योंकि वास्तविक क्रम में माध्यिका, बहुलक से बड़ी है।

4. कथन (C) माध्य > माध्यिका की जाँच करें — यह क्रम से सीधे सत्य है।

5. कथन (D) बहुलक > माध्य की जाँच करें — यह असत्य है, क्योंकि माध्य सबसे बड़ा मान है, बहुलक नहीं।

6. कथन (E) माध्यिका > माध्य की जाँच करें — यह भी असत्य है, क्योंकि माध्य, माध्यिका से बड़ा होता है।

7. इस प्रकार केवल कथन (A) और (C) सत्य हैं, जो विकल्प "केवल (A) और (C)" से मेल खाता है।

जाँच: पियर्सन के अनुभवजन्य सूत्र बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य में माध्य > माध्यिका रखने पर, बहुलक = 3×माध्यिका − 2×माध्य < 3×माध्यिका − 2×माध्यिका = माध्यिका प्राप्त होता है, अर्थात बहुलक < माध्यिका। यह स्वतंत्र रूप से बहुलक < माध्यिका < माध्य के क्रम की पुष्टि करता है, जो ऊपर के निष्कर्ष से मेल खाता है।