राजेश बिंदु X से ड्राइव करना शुरू करते हुए पश्चिम की ओर 10 km ड्राइव करता है।…

अवधारणा

दिशा-बोध संबंधी प्रश्नों में प्रारंभिक बिंदु को निर्देशांक तल के मूलबिंदु पर रखें तथा पूर्व–पश्चिम को X-अक्ष और उत्तर–दक्षिण को Y-अक्ष मानें, ताकि यात्रा का प्रत्येक चरण केवल एक निर्देशांक में परिवर्तन करे। बाएँ मुड़ने पर मुख-दिशा वामावर्त चक्र उत्तर→पश्चिम→दक्षिण→पूर्व→उत्तर में एक चरण आगे बढ़ती है और दाएँ मुड़ने पर यह दक्षिणावर्त चक्र उत्तर→पूर्व→दक्षिण→पश्चिम→उत्तर में एक चरण आगे बढ़ती है। अंतिम बिंदु और प्रारंभिक बिंदु के बीच का सदिश अंतर वापसी की न्यूनतम दूरी देता है तथा वापसी की दिशा उस विस्थापन की दिशा के ठीक विपरीत होती है।

अनुप्रयोग

1. बिंदु X को मूलबिंदु (0, 0) मानें। राजेश पश्चिम दिशा में 10 km वाहन चलाता है, अतः वह (-10, 0) पर पहुँचता है।

2. पश्चिम से बाएँ मुड़ने पर दिशा दक्षिण होती है; दक्षिण दिशा में 3 km वाहन चलाने पर वह (-10, 0 - 3) = (-10, -3) पर पहुँचता है।

3. दक्षिण से दाएँ मुड़ने पर दिशा पश्चिम होती है; पश्चिम दिशा में 4 km वाहन चलाने पर वह (-10 - 4, -3) = (-14, -3) पर पहुँचता है।

4. पश्चिम से बाएँ मुड़ने पर दिशा पुनः दक्षिण होती है; दक्षिण दिशा में 4 km वाहन चलाने पर वह (-14, -3 - 4) = (-14, -7) पर पहुँचता है।

5. दक्षिण से बाएँ मुड़ने पर दिशा पूर्व होती है; पूर्व दिशा में 14 km वाहन चलाने पर वह (-14 + 14, -7) = (0, -7) पर पहुँचता है, जो बिंदु Y है।

अतः बिंदु Y (0, -7) पर स्थित है, जो उसी उत्तर–दक्षिण रेखा पर बिंदु X से ठीक 7 km दक्षिण में है। इसलिए X पर वापस जाने की न्यूनतम दूरी उत्तर दिशा में 7 km है।

जाँच

प्रत्येक अक्ष के अनुसार यात्रा के चरणों को जोड़ने पर चरण-दर-चरण मार्ग की पुष्टि होती है: पश्चिम दिशा के चरणों (10 km + 4 km) को पूर्व दिशा का एकमात्र 14 km का चरण पूर्णतः निरस्त कर देता है, इसलिए Y उसी उत्तर–दक्षिण रेखा पर स्थित है जिस पर X स्थित है और केवल दक्षिण दिशा में 7 km का विस्थापन शेष रहता है। अतः उत्तर दिशा में 7 km वाहन चलाने पर राजेश पुनः X पर पहुँच जाता है और इससे छोटा कोई मार्ग संभव नहीं है, क्योंकि यह विस्थापन केवल एक अक्ष के अनुदिश है।