52 और 117 का माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।

संकल्पना: दो धनात्मक संख्याओं a और b का माध्यानुपाती (जिसे गुणोत्तर माध्य भी कहा जाता है) वह संख्या x है, जिसके लिए a : x = x : b होता है। किसी भी समानुपात में मध्य पदों का गुणनफल बाह्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, अतः x × x = a × b, अर्थात् x2 = ab और x = √(ab)। यह गुणात्मक मध्य पद है, समांतर माध्य (a + b)/2 नहीं।

अनुप्रयोग: यहाँ दिए गए दो पद a = 52 और b = 117 हैं, अतः अभीष्ट पद x = √(52 × 117) है।

1. दोनों पदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 52 × 117 = 6084।

2. प्रत्येक पद का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए: 52 = 22 × 13 और 117 = 32 × 13।

3. गुणनखंडनों को संयोजित कीजिए: 52 × 117 = 22 × 32 × 132 = (2 × 3 × 13)2, अतः गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है।

4. वर्गमूल ज्ञात कीजिए: x = √6084 = 2 × 3 × 13 = 78।

जाँच: 52 : 78 को सरल करने पर 2 : 3 प्राप्त होता है, और 78 : 117 को भी सरल करने पर 2 : 3 प्राप्त होता है। दोनों अनुपात समान हैं, अतः 52, 78 और 117 सतत समानुपात में हैं, जो माध्यानुपाती की आवश्यक शर्त को पूर्णतः संतुष्ट करता है।

तुलना: इसी युग्म का समांतर माध्य (52 + 117)/2 = 84.5 है, जो पूर्णतः भिन्न राशि है। माध्यानुपाती में दोनों पदों का गुणन करके वर्गमूल लिया जाता है; समांतर माध्य में उन्हें जोड़कर आधा किया जाता है।