एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई 4 : 5 : 6 के अनुपात में है। यदि लंबाई में…

संकल्पना: आयतन अपनी तीनों विमाओं का गुणनफल होता है, इसलिए किसी विमा में प्रतिशत परिवर्तन योगात्मक रूप से नहीं, बल्कि गुणात्मक रूप से प्रभाव डालता है। p% की वृद्धि किसी राशि को (1 + p/100) से गुणा करती है, और जब ऐसे अनेक गुणकों को परस्पर गुणा किया जाता है, तो नया गुणनफल मूल गुणनफल तथा सभी अलग-अलग गुणन गुणकों के गुणनफल के बराबर होता है। अतः गुणनफल में प्रतिशत परिवर्तन (गुणन गुणकों का गुणनफल − 1) × 100 होता है।

अनुप्रयोग: एक घनाभ के लिए, आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई। दिए गए अनुपात में विमाओं को l = 4k, b = 5k और h = 6k मानने पर, मूल आयतन V = 4k × 5k × 6k = 120k3 है।

1. नया आयतन = 10k × 12k × 15k = 1800k3

2. आयतन में वृद्धि = 1800k3 − 120k3 = 1680k3

3. प्रतिशत वृद्धि = (1680k3 ÷ 120k3) × 100 = 14 × 100 = 1400%

प्रति-जाँच: पहले गुणकों को गुणा करने पर 2.5 × 2.4 × 2.5 = 15 प्राप्त होता है, इसलिए आयतन मूल आयतन का 15 गुना हो जाता है, अर्थात् 15 − 1 = 14 गुना की वृद्धि, यानी 1400%। ध्यान दें कि k निरस्त हो जाता है, इसलिए अनुपात 4 : 5 : 6 उत्तर को प्रभावित नहीं करता — कोई भी प्रारंभिक विमाएँ समान प्रतिशत परिवर्तन देती हैं।

सामान्य त्रुटि: तीनों प्रतिशतों को जोड़ना (150% + 140% + 150% = 440%) परिवर्तनों को योगात्मक मानता है। परस्पर गुणा होने वाली राशियों में क्रमिक परिवर्तनों को भी आपस में गुणा किया जाना चाहिए, कभी भी जोड़ा नहीं जाना चाहिए।